第109章 论文完成（第3/8页）

模形式等级越高，曲线越复杂，所以k曲线复杂性。

质数p控制曲线在-进数域上的局部几何行为，不同的质数对应不同的几何约束，质数p也与曲线复杂性有关，所以p局部几何复杂性。

量子化同调中的参数q反映量子化几何对象对曲线全局复杂性的影响，这是对曲线几何复杂性的进一步量化，所以q全局几何复杂性。

换言之，不同的几何参数虽然来源不同，但它们反映的都是曲线在不同视角下的复杂性。

这是什么？这就是参数统一的界定条件。

于是在周五晚上，乔喻设计出了一个统一的几何约束参数θ，并提出了第二个假设：几何约束参数θ是模形式等级、-进数域质数和量子化同调参数的某种加权组合，它们共同反映曲线的全局复杂性。

基于这个假设，很显然，就能得到一个基本结构：θ=f(g，k，p，q)。

当然，到了这一步，显然还不够。

因为每个参数的权重并不一样，要让结构在数学上具备合理性，需要一个能够完美体现各个参数权重的组合方式。

接下来就是计算跟验证工作，复杂，但不难。

不过一个晚上，他便得出结论，k的增长与亏格g成对数级增长，所以：kglog(g)；局部几何的复杂性随着亏格增加呈指数级变化，所以pe^g/2；量子化同调中，参数q与亏格g的关系增长则直接算出了一个近似值：qg^3/2。

公式自然而然就出来了：θ=f(g，k，p，q)=glog(k)+g^2log(p)+gq

把三个参数的表达直接带入后，就是：θ=glog(glog(g))+g^2log(e^g/2)+gg^3/2

到了这一步就已经只剩亏格g一个重要参数。

接下来就是最简单的化简工作:θ=g(log(g)+log(log(g)))+g3/2+g^5/2

三天日以继夜在电脑前忙碌之后，乔喻在2025年2月21日，周五晚上11点37分，终于在电脑上敲出了关于曲线有理数点预估的最终公式：N(X)≤C(θ)=θ^g

θ就是他设计的几何约束参数，g是亏格。

这个公式……果然很美！

欣赏了一阵之后，乔喻立刻开始着手验证，毕竟公式光美没用，必须得有用才行。

他要做的是根据自己的公式来求其是否准确。

乔喻选了经典椭圆曲线y^2=x^3+x

根据BSD猜想已知条件可知曲线亏格为1，直接带入公式，然后化简得到的结果就是：θ=5，嗯，5的1次方还是5。

结论显然正确。

因为这就是经典的艾尔米特曲线，曲线上的有理数点，早在十多年前就已经有人计算过了。

接下来是莫德尔曲线、费马曲线的特殊情况、Kubert曲线的各种情况……都让乔喻试了个遍。

比如莫德尔曲线：y^2 = x^3 + k，k为整数。他分别验证了k=-1，k=2等已知有限有理点的情况，结果都是正确的。

接着乔喻又打开了罗伯特·格林教授的论文，用自己的公式跟罗伯特·格伦推导的出的公式进行对比性计算，在确定的点数上，他的公式大都跟罗伯特的结果一样，但一些不确定的，双方推算出来的还有些出入，但不大。

好吧，也懒得计较谁对谁错了。

起码到了这一步，他已经可以开始写论文了，这一步对他来说反而是最简单的。

因为之前大半个月推导公式的过程他都已经写好了，因为早就考虑过要完成一篇论文，所以整个推导过程乔喻本就准备的很详尽，接下来无非就是用专业的语言把那些推导过程整合在一起。

无非就是引理、定理这些内容，证明部分基本都能直接复制黏贴。

主要就是后续关于统一几何约束参数θ的证明过程，需要现写。

好在乔喻有一整个周末来完成这篇论文。

其实当然不用这么着急，以乔喻的年纪完全不需要只争朝夕，论文早几天完成或者晚几天完成，都无所谓。